Naslovna › Mala matura › Matematika
Kupa i lopta
Matematika za malu maturu
Jedinica 16: Rastavljanje, zadaci sa dve nepoznate, kupa i lopta
Podsetnik
Kupa ima osnovu (krug poluprečnika r), visinu H i izvodnicu s.
- r, H i s čine pravougli trougao u kome je izvodnica s hipotenuza: s² = r² + H²,
- osnova B = r²π, omotač M = rπs,
- površina P = B + M = r²π + rπs,
- zapremina V = (1/3) · r²π · H, to je trećina zapremine valjka iste osnove i visine.
Osni presek kupe je jednakokraki trougao sa osnovicom 2r i kracima s. Kod jednakostranične kupe osni presek je jednakostranični trougao, pa je s = 2r.
Lopta poluprečnika r:
- površina P = 4r²π,
- zapremina V = (4/3) · r³π.
Ako je dat prečnik, prvo ga podeli sa 2. Rezultat ostavljamo sa π.
Primer: kupa sa r = 5 cm i H = 12 cm ima s² = 25 + 144 = 169, pa je s = 13 cm, M = 5 · 13 · π = 65π cm² i V = (1/3) · 25π · 12 = 100π cm³.
Bez digitrona, kao na ispitu.
Probaj zadatak
Zadatak 1
Poluprečnik osnove kupe je 9 cm, a visina kupe je 12 cm. Kolika je izvodnica kupe? Upiši broj u cm.
Prikaži rešenje
Tačan odgovor: 15
Visina, poluprečnik osnove i izvodnica čine pravougli trougao u kome je izvodnica hipotenuza. Zato je s² = r² + H² = 81 + 144 = 225, pa je s = 15 cm.
Zadatak 2
Omotač kupe čiji je poluprečnik osnove 8 cm iznosi 80π cm². Zapremina te kupe je kπ cm³. Upiši broj k.
Prikaži rešenje
Tačan odgovor: 128
Iz M = rπs dobijamo 8πs = 80π, pa je s = 10 cm. Visina: H² = s² − r² = 100 − 64 = 36, pa je H = 6 cm. V = (1/3) · r²π · H = (1/3) · 64π · 6 = 128π cm³, pa je k = 128.