Naslovna › Mala matura › Matematika
Posebne jednačine
Matematika za malu maturu
Jedinica 18: Posebne jednačine, modelovanje i karte
Podsetnik
Jednačina x² = a:
- ako je a > 0, ima dva rešenja, √a i −√a: iz x² = 100 sledi x = 10 ili x = −10,
- ako je a = 0, jedino rešenje je x = 0,
- ako je a < 0, nema rešenja, jer kvadrat broja nije negativan.
Jednačina |x| = a ima iste slučajeve: za a > 0 rešenja su x = a i x = −a (iz |x| = 2 sledi x = 2 ili x = −2), za a = 0 jedino rešenje je x = 0, a za a < 0 nema rešenja, jer apsolutna vrednost broja nikad nije negativna.
Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan činilac jednak nuli. Iz (x − 1)(x + 4) = 0 sledi x − 1 = 0 ili x + 4 = 0, pa je x = 1 ili x = −4. Pazi na znak: činilac x + 4 je nula za x = −4.
Rastavljanje na činioce:
- izvučemo zajednički činilac: x² − 3x = x(x − 3), pa jednačina x² − 3x = 0 ima rešenja 0 i 3,
- primenimo razliku kvadrata: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), pa jednačina x² − 9 = 0 ima rešenja 3 i −3.
Ne deli obe strane jednačine sa x, jer tako gubiš rešenje x = 0.
Kada x označava dužinu ili broj predmeta, negativno rešenje odbacujemo.
Bez digitrona, kao na ispitu.
Probaj zadatak
Zadatak 1
Koja tvrdnja o jednačini x² = 81 je tačna?
- Jednačina ima samo jedno rešenje, x = 9.
- Jednačina ima dva rešenja, x = 9 i x = −9.
- Jednačina ima dva rešenja, x = 81 i x = −81.
- Jednačina nema rešenja.
Prikaži rešenje
Tačan odgovor: B. Jednačina ima dva rešenja, x = 9 i x = −9.
Tražimo brojeve čiji je kvadrat 81. To su 9, jer je 9² = 81, i −9, jer je (−9)² = 81. Zato su rešenja x = 9 i x = −9. Česta greška je da se zapamti samo pozitivno rešenje.
Zadatak 2
Jedno rešenje jednačine (x − 3)(x + 5) = 0 je x = 3. Koje je drugo rešenje? Upiši broj.
Prikaži rešenje
Tačan odgovor: −5
Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan činilac jednak nuli. Činilac x − 3 je nula za x = 3, a činilac x + 5 je nula za x = −5. Provera: (−5 − 3) · (−5 + 5) = −8 · 0 = 0.