Naslovna › Mala matura › Matematika
Rastavljanje na činioce
Matematika za malu maturu
Jedinica 16: Rastavljanje, zadaci sa dve nepoznate, kupa i lopta
Podsetnik
Rastaviti izraz na činioce znači zapisati ga kao proizvod.
Izvlačenje zajedničkog činioca: ab + ac = a(b + c). Izvlačimo najveći zajednički činilac brojeva i promenljivih: 4x² + 10x = 2x(2x + 5). Kada izvučemo činilac sa minusom, svim članovima u zagradi se menja znak: −3m − 12 = −3(m + 4).
Formule:
- razlika kvadrata: a² − b² = (a − b)(a + b), npr. 9m² − 4 = (3m − 2)(3m + 2),
- kvadrat zbira: a² + 2ab + b² = (a + b)², npr. m² + 10m + 25 = (m + 5)²,
- kvadrat razlike: a² − 2ab + b² = (a − b)².
Kod izraza sa tri člana proveri srednji član: kod kvadrata zbira on mora biti 2ab, a kod kvadrata razlike −2ab (dvostruki proizvod od a i b).
Do kraja: prvo izvuci zajednički činilac, pa pogledaj da li se izraz u zagradi može dalje rastaviti po formuli. Primer: 2m³ − 50m = 2m(m² − 25) = 2m(m − 5)(m + 5).
Računanje vrednosti: izraz prvo rastavi ili sredi, pa tek onda zameni brojeve. Primer: 51² − 49² = (51 − 49)(51 + 49) = 2 · 100 = 200.
Rastavljanje uvek možeš da proveriš množenjem.
Bez digitrona, kao na ispitu.
Probaj zadatak
Zadatak 1
Iz izraza 6a² − 9ab izvučen je najveći zajednički činilac ispred zagrade. Koji je dobijeni zapis?
- 3(2a² − 3ab)
- 3a(2a − 3b)
- 3a(2a − 9b)
- 6a(a − 3b)
Prikaži rešenje
Tačan odgovor: B. 3a(2a − 3b)
Najveći zajednički činilac brojeva 6 i 9 je 3, a oba člana sadrže a, pa izvlačimo 3a. Delimo: 6a² : 3a = 2a i 9ab : 3a = 3b, pa je 6a² − 9ab = 3a(2a − 3b). Zapis 3(2a² − 3ab) jeste jednak datom izrazu, ali u njemu nije izvučen najveći zajednički činilac.
Zadatak 2
Rastavi na činioce izraz x² − 49.
- (x − 7)²
- (x + 7)²
- (x − 49)(x + 49)
- (x − 7)(x + 7)
Prikaži rešenje
Tačan odgovor: D. (x − 7)(x + 7)
Ovo je razlika kvadrata: x² − 49 = x² − 7², a važi a² − b² = (a − b)(a + b). Zato je x² − 49 = (x − 7)(x + 7). Izraz (x − 7)² daje x² − 14x + 49, a ne x² − 49.