Naslovna › Mala matura › Matematika
Sličnost i Talesova teorema
Matematika za malu maturu
Jedinica 19: Sličnost, složena tela i podaci
Podsetnik
Slični trouglovi imaju jednake odgovarajuće uglove, a odgovarajuće stranice su im proporcionalne. Dva trougla su slična već kada imaju dva para jednakih uglova; tada su odgovarajuće stranice one naspram jednakih uglova.
Koeficijent sličnosti k je količnik odgovarajućih stranica. Primer: trouglovi sa stranicama 3 cm, 5 cm, 7 cm i 9 cm, 15 cm, 21 cm su slični, jer je svaka stranica drugog 3 puta duža, pa je k = 3.
Za slične figure sa koeficijentom sličnosti k važi:
- obimi sličnih figura odnose se kao k,
- površine sličnih figura odnose se kao k².
Talesova teorema: kada paralelne prave seku dve prave, odsečci na jednoj pravoj proporcionalni su odgovarajućim odsečcima na drugoj. Ako u trouglu ABC duž DE spaja stranice AB i AC i paralelna je sa BC, trougao ADE je sličan trouglu ABC.
Proporcija: iz a : b = c : d sledi a · d = b · c.
Senke: u isto vreme su odnosi visine i senke svih predmeta jednaki. Primer: štap od 2 m baca senku od 1,5 m, a drvo senku od 6 m. Iz h : 6 = 2 : 1,5 sledi h = 2 · 6 : 1,5 = 8 m.
Bez digitrona, kao na ispitu.
Probaj zadatak
Zadatak 1
Ako su stranice jednog trougla tri puta duže od odgovarajućih stranica njemu sličnog trougla, onda je i površina prvog trougla tri puta veća.
- Tačno
- Netačno
Prikaži rešenje
Tačan odgovor: Netačno
Koeficijent sličnosti je k = 3. Obimi se odnose kao k, tj. 3 : 1, ali se površine odnose kao k² = 9 : 1. Zato je površina većeg trougla 9 puta veća, a ne 3 puta.
Zadatak 2
Za trouglove ABC i DEF važi ∠A = ∠D i ∠B = ∠E. Poznato je AB = 8 cm, BC = 10 cm i DE = 12 cm. Kolika je dužina duži EF? Upiši broj u cm.
Prikaži rešenje
Tačan odgovor: 15
Trouglovi imaju dva para jednakih uglova, pa su slični (stav UU), i to tako da temenu A odgovara D, temenu B odgovara E, a temenu C odgovara F. Zato stranici AB odgovara DE, a stranici BC odgovara EF. Koeficijent sličnosti je 12 : 8 = 1,5, pa je EF = 10 · 1,5 = 15 cm. Ko obrne razmeru (8 : 12), dobije broj manji od 10, a trougao DEF je veći.